順列・組合せの覚書

順列・組合せのポイント

`n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times ... \times3\times2\times1` を分解する。

階層 順列・組合せにおける意味
1 2 3
n! 異なる`n`個の中から`n`個取り出す選び方の数(順序別)= nPn
nPr 異なる`n`個の中から `r`個取り出す選び方の数(順序別)
nCr 異なる `r`個の中から順序を考えずに `r`個取り出す選び方の数(組合せ)
r! 異なる `r`個の中から `r`個取り出す選び方の数(順序別)
(n - r)! 異なる `(n-r)`個の中から `(n-r)`個取り出す選び方の数(順序別)
図1. n! と nPrnCr との関係

重要な関係式

\[ n! = _nP_r \times (n - r)! \] \[ _nP_r = _nC_r \times r! \]

クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率

(1) クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率

\[ 1 - \big\{ \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365} \times ... \times \frac{365 - (n - 1)}{365} \big\} = 1 - \frac{_{364}P_{n-1}}{{365}^{n-1} } \]

(2) クラスの中に自分と同じ誕生日の人がいる確率

\[ 1 - \big\{ \frac{364}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{364}{365} \times ... \times \frac{364}{365} \big\} = 1 - \big(\frac{364}{365} \big)^{n} \]

グラフ