順列・組合せのポイント
`n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times ... \times3\times2\times1` を分解する。
| 階層 | 順列・組合せにおける意味 | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | |
| n! | 異なる`n`個の中から`n`個取り出す選び方の数（順序別）= nPn | ||
| nPr | 異なる`n`個の中から `r`個取り出す選び方の数（順序別） | ||
| nCr | 異なる `n`個の中から順序を考えずに `r`個取り出す選び方の数（組合せ） | ||
| r! | 異なる `r`個の中から `r`個取り出す選び方の数（順序別） | ||
| (n - r)! | 異なる `(n-r)`個の中から `(n-r)`個取り出す選び方の数（順序別） | ||
重要な関係式
\[ n! = _nP_r \times (n - r)! \] \[ _nP_r = _nC_r \times r! \]クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率
- 1年 = 365日とする。
(1) クラスの中に同じ誕生日の人がいる確率
\[
1 - \big\{ \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365} \times ... \times \frac{365 - (n - 1)}{365} \big\} = 1 - \frac{_{364}P_{n-1}}{{365}^{n-1} }
\]
- 左辺、括弧内の分子が小さくなっていることに注目。
(2) クラスの中に自分と同じ誕生日の人がいる確率
\[
1 - \big\{ \frac{364}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{364}{365} \times ... \times \frac{364}{365} \big\} = 1 - \big(\frac{364}{365} \big)^{n}
\]
グラフ
* グラフがウィンドウサイズと合っていない場合は、画面をリロードしてください。